変分原理からラグランジュ方程式【力学】

こちらの記事では仮想仕事の原理およびダランベールの原理を使ってラグランジュ方程式を導きました．

今回はまた別の角度からラグランジュ方程式を導いてみたいと思います．

1. 変分原理
2. \(\delta S = 0\)からラグランジュ方程式を導く

1. 変分原理

今回ラグランジュ方程式を導くにあたって用いる原理が変分原理です．
系の自由度を\(q_a \ (a = 1, \cdots, A)\)として，どのようなことなのか書きますと，

変分原理

系の運動は作用
\[S[q_1, \cdots, \ q_A] = \int_{t_1}^{t_2} L(q_1, \cdots, q_A, \dot{q}_1, \cdots, \dot{q}_A, t) dt\]
が停留値をとるように決まる．

というものです．

ここでいう運動とは\(q_a\ (a = 1, \cdots, A)\)のことです．例えば1粒子が自由に動く状況であれば，\(q_1 = x, q_2 = y, q_3 = z\)というように自由度は粒子の座標に対応し，自由度が決まることと運動が決まることは全く同じことですよね．

\(q_a\ (a = 1, \cdots, A)\)が決まること = 運動が決まること

そして運動が停留値をとるように決まるわけなので，\(\delta S = 0\)です．\(S\)は自由度\(q_a\)の関数ですから，自由度での変分を考えてそれが0になるように\(q_a\)が決まります．

お気持ちとしては，何か一定に保たれる\(S\)という量が存在していて，その\(S\)を変化させないように運動の経路が選ばれていくという感じでしょうか．

よってざっくりいうと，運動というのはラグランジアンの積分が一定となるように決まるということです．

これは原理ですので，落ちる球とか，紐にくくりつけられた振り子とか，そういったものの運動は作用が変化しないように運動しているとモデル化してみたということです．

ではこの式から出発してラグランジュ方程式を導きたいと思います．

ここでは変分原理と呼びましたが，他にもハミルトンの原理だったり最小作用の原理だったり呼び方はいろいろあります．変分原理というともっと広い意味を持つというイメージもあるかもしれません．

2. \(\delta S = 0\)からラグランジュ方程式を導く

では計算をしていきます．

\(S\)は自由度\(q_a\)の汎関数ですから，変分を考えるときは各自由度が微小に\(\delta q_a\)変化すると考えて．

\begin{align*}
\delta S &= S[q_1 + \delta q_1, \ \cdots,\ q_A + \delta q_A] – S[q_1, \ \cdots,\ q_A]\\
&= \int_{t_1}^{t_2} L(q_1 + \delta q_1, \ \cdots,\ q_A + \delta q_A,\ \dot{q}_1 + \delta \dot{q}_1, \ \cdots,\ \dot{q}_A + \delta \dot{q}_A, t)\\
&\quad – L(q_1, \ \cdots,\ q_A,\ \dot{q}_1, \ \cdots,\ \dot{q}_A, t) dt\\
&= \int_{t_1}^{t_2} \sum_a \frac{\partial L}{\partial q_a} \delta q_a + \sum_a \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_a} \delta \dot{q}_a dt
\end{align*}

ここで第２項の積分のみ考えてみます．

\begin{align*}
\int_{t_1}^{t_2}\sum_a \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_a} \delta \dot{q}_a dt
&= \sum_a \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_a} \delta \dot{q}_a dt\\
&= \sum_a \left[\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_a}\delta q_a \right]_{t=t_1}^{t=t_2} – \int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_a}\right) \delta q_a dt
\end{align*}

変分を考えるとき，基本的には端点は合わせておきます．境界条件がないといけませんから．

よって第１項は\(\delta q_a(t_1) = \delta q_a(t_2) = 0\)より消えて，第２項のみが残ります．

さてこれをもとの式に戻します．

\begin{align*}
\delta S
&= \int_{t_1}^{t_2} \sum_a \frac{\partial L}{\partial q_a} \delta q_a – \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_a}\right) \delta q_a dt\\
&= \int_{t_1}^{t_2} \left( \sum_a \frac{\partial L}{\partial q_a} – \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_a}\right) \delta q_a \right) dt
\end{align*}

\(\delta q_a\)は十分小さければ任意にとれるので，\(\delta S = 0\)が成り立つためには，

\[\frac{\partial L}{\partial q_a} – \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_a} = 0\]

でなければならないです．これにてラグランジュ方程式を導くことができました．

ダランベールの原理から出発するよりも変分原理から出発した方がより簡単にラグランジュ方程式にたどりつけているのではないかなと思います．